Question

10．對x，y定義一種新運(yùn)算x[]y=$\frac{ax-2by}{2x+y}$（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則混合運(yùn)算，例如：0[]2=$\frac{a×0-2×b×2}{2×0+2}$=-2b．
（1）已知1[]2=3，-1[]3=-2．請解答下列問題．
①求a，b的值；
②若M=（m²-m-1）[]（2m-2m²），則稱M是m的函數(shù)，當(dāng)自變量m在-1≤m≤3的范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值M為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為k，求k的值；
（2）若x[]y=y[]x，對任意實(shí)數(shù)x，y都成立（這里x[]y和y[]x均有意義），求a與b的函數(shù)關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）①結(jié)合新運(yùn)算的定義，代入數(shù)據(jù)，解二元一次方程組即可得出結(jié)論；
②將a、b的值代入原定義式中，用m表示出M，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出M的取值范圍，從而得出k的值；
（2）x[]y=y[]x得出關(guān)于a、b、x、y的等式，由對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，找出恒為0的代數(shù)式a+4b=0，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）①由1[]2=3，-1[]3=-2，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-4b=12}\\{-a-6b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
答：a的值為8，b的值為-1．
②把a(bǔ)=8，b=-1代入x[]y=$\frac{ax-2by}{2x+y}$，得x[]y=$\frac{8x+2y}{2x+y}$，
M=（m²-m-1）[]（2m-2m²）=-2m²+2m+4=-2${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{2}$，
又∵-1≤m≤3，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，M取最大值$\frac{9}{2}$；
當(dāng)m=-1時(shí)，M=0；
當(dāng)m=3時(shí)，M=-8．
∴-8≤M≤$\frac{9}{2}$=4$\frac{1}{2}$，
∴k=8+4+1=13．
（2）∵x[]y=y[]x，
∴$\frac{ax-2by}{2x+y}$=$\frac{ay-2bx}{2y+x}$，
∴ay²-ax²+4by²-4bx²=0，
∴a（y²-x²）+4b（y²-x²）=0，
即（a+4b）（y²-x²）=0．
∵對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴a+4b=0，
∴a=-4b．

點(diǎn)評 本題考查了解二元一次方程組以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）①代入數(shù)據(jù)解二元一次方程組；②結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)尋找最值；（2）代入定義式，尋找恒為0的量．本題屬于中檔題，難度不大，但是由于涉及到新的運(yùn)算規(guī)則，不少學(xué)生會放棄該題，其實(shí)在解決新定義類型的題目時(shí)，運(yùn)算都是很簡單的，只要牢記運(yùn)算的規(guī)則，套入給定的例子即可得出結(jié)論．