Question

【題目】如圖，中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，于，交于點(diǎn)．

(1)如圖1，請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2，若平分，，求證：；

(3)在(2)的條件下，如圖3，連接，若是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見(jiàn)解析；(3) .

【解析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE，∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC，再結(jié)合已知條件即可證出結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)角和定理證出∠A=∠FEB，再結(jié)合（1）的結(jié)論可證∠FEB=∠DBE，根據(jù)平行線(xiàn)的判定證出EF∥BD，從而證出∠EFC=∠ACB=90°，再根據(jù)垂直的定義即可證出結(jié)論；

（3）連接AD、DF，根據(jù)三角形中線(xiàn)的性質(zhì)可知S△ABF=S△BCF=2S△BCG，結(jié)合已知條件即可求出S△BCG=，再根據(jù)等高時(shí)，面積比等于底之比即可求出S△BDG=8，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論．

解：（1）∠A=∠DBE，理由如下

∵

∴∠E=90°

∴∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE

∵

∴∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC

∵

∴∠A=∠DBE

（2）∵平分，

∴∠ABF=∠EBF

∵

∴∠A=180°－∠ABF－∠AFB=180°－∠EBF－∠EFB=∠FEB

由（1）知∠A=∠DBE

∴∠FEB=∠DBE

∴EF∥BD

∴∠EFC=∠ACB=90°，

∴；

（3）連接AD、DF

∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

∴S△ABF=S△BCF=2S△BCG

∵

∴S△ADF=S△ABF=3S△BCG，BC：CD==2:3

∴BC：BD=2:5

∵

∴

∴S△BCG=

∵S△BCG：S△BDG=BC：BD

即：S△BDG=2:5

解得S△BDG=8

∴BG·DE=8

∵

∴BG2=8

解得BG=4或-4（不符合實(shí)際，舍去）

即BG=4．