Question

如圖，拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙M是過A、B、C三點(diǎn)的圓，連接MC、MB、BC，求劣弧CB的長；（結(jié)果用精確值表示）
（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（結(jié)果用精確值表示）

Answer 1

（1）把x=0和y=0分別代入y=x-3，
得當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3．
∴A（3，0），B（0，-3）．
把x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)y=0時(shí)，x=3代入y=ax²-2x+c，
得

c=-3 9a-6+c=0

，
解得：

c=-3 a=1

，
∴y=x²-2x-3．

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=

10

．
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90度．
∴MB=MC=

5

∴

BC

的長是

5

2

π．

（3）∵y=x²-2x-3的對稱軸是x=-

b

2a

=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-4，
∴D（1，-4）．
∴S_△ACD=

1

2

×4×4=8，
∴S_△APC=10．
設(shè)存在點(diǎn)P（x，y），
∴|y|=5．
∴y=5時(shí)，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
當(dāng)y=-5時(shí)，P點(diǎn)不在拋物線上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）．