Question

13．如圖1，正方形紙片ABCD邊長(zhǎng)為2，折疊∠B和∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上的一點(diǎn)P，EF、GH分別是折痕（圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①x=$\frac{1}{2}$時(shí)，EF+GH＞AC； 
②六邊形AEFCHG面積的最大值是3；
③六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值為定值．
其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 （1）由△BEF∽△BAC，得出EF=$\frac{3}{4}$AC，同理得出GH=$\frac{1}{4}$AC，從而得出結(jié)論；
（2）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值；
（3）根據(jù)六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解即可．

解答 解：正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC，
同理，GH=$\frac{1}{4}$AC，
∴EF+GH=AC，①不正確；
六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=2²-$\frac{1}{2}$BE•BF-$\frac{1}{2}$GD•HD=4-$\frac{1}{2}$×（2-x）•（2-x）-$\frac{1}{2}$x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故②結(jié)論正確；
∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$，
故六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變，
故③結(jié)論正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．