Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1：y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B與l2：y＝x相交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若平行于y軸的直線x＝a交于直線1于點(diǎn)E，交直線l2于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M，且ED＝2DM，求a的值；

（3）如圖2，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPO＝135°，連接AP，探究AP與BP之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（3，1）；（2）a＝2或6；（3）AP⊥BP，證明見解析.

【解析】

（1）聯(lián)立兩直線解析式得到方程組，求出方程組的解即可確定出C的坐標(biāo)；

（2）將x=1代入兩直線方程求出對(duì)應(yīng)y的值，確定出D與E的縱坐標(biāo)，即OD與OE的長(zhǎng)，由OE﹣OD求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)ED=2DM，求出MN的長(zhǎng)，將x=a代入兩直線方程，求出M與N對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，相減的絕對(duì)值等于MN的長(zhǎng)列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；

（3）AP⊥BP，理由為：過O作OQ⊥OP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，由∠BPO為135°，得到∠OPQ為45°，又∠POQ為直角，可得出三角形OPQ為等腰直角三角形，再利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形AOP與三角形BOQ相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO﹣∠APO得到∠APB為直角，即AP⊥BP．

（1）聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，則C坐標(biāo)為（3，1）；

（2）由題意：M（a，0）D（a，a） E（a，﹣a+4）．

∵DE=2DM，∴|a﹣（﹣a+4）|=2|a|，解得：a=2或6．

（3）如圖2中，過O作OQ⊥OP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，可得∠POQ=90°．

∵∠BPO=135°，∴∠OPQ=45°，∴∠Q=∠OPQ=45°，∴△POQ為等腰直角三角形，∴OP=OQ．

∵∠AOB=∠POQ=90°，∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ．

∵OA=OB=4，∴，∴△AOP∽△BOQ，∴∠APO=∠BQO=45°，∴∠APB=∠BPO﹣∠APO=90°，則AP⊥BP．