Question

如圖，AD、CE是△ABC的角平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，已知∠B=60°，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①AF=FC；②△AEF≌△CDF；③AE+CD=AC；④∠AFC=120°．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①、②當(dāng)AF=FC、△AEF≌△CDF時(shí)，需要∠BAC=∠BCA；
③、④在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結(jié)論．

解答：解：①假設(shè)AF=FC．則∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分線，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；
故①不一定正確；

②假設(shè)△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．
同①，當(dāng)∠BAC=∠BCA時(shí)，該結(jié)論成立，
∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；
故②不一定正確；

③在AC上取AG=AE，連接FG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF與△AGF中，

AE=AG ∠2=∠1 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=

1

2

∠ACB+

1

2

∠BAC=

1

2

（∠ACB+∠BAC）=

1

2

（180°-∠B）=60°
則∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
則∠CGF=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC與△DFC中，

∠CFD=∠CFG CF=CF ∠GCF=∠DCF

，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正確；

④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．