Question

7．如圖，拋物線y=kx²-2kx-3k（k＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）試探究，△BCM與△ABC的面積比值是否不變？若不變，試求出這個(gè)比值；若會(huì)變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，解方程求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵y=kx²-2kx-3k=k（x-1）²-4k，
∴拋物線頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-4k），
∵拋物線y=kx²-2kx-3k（k＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，kx²-2kx-3k=0，
∵k＞0，∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（3，0）；
（2）不變，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3k，即C（0，-3k），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×|3-（-1）|×|-3k|=6|k|=6k，
過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，
則有OD=1，BD=OB-OD=2，MD=|-4k|=4k，
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$BD•DM+$\frac{1}{2}$（OC+DM）•OD-$\frac{1}{2}$OB•OC
=$\frac{1}{2}$×2×4k+$\frac{1}{2}$×（3k+4k）×1-$\frac{1}{2}$×3×3k=3k，
∴S_△BCM：S_△ABC=3k：6k=1：2．
∴△BCM與△ABC的面積比不變，為1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法，正確運(yùn)用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．