Question

11．解方程
（1）x²-2x-3=0
（2）y²+8y-1=0
（3）$\frac{{{x^2}+1}}{x}+\frac{2x}{{{x^2}+1}}$=3
解方程組：
（4）$\left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\{x^2}+{y^2}=20\end{array}$．

Answer 1

分析 （1）分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）首先進(jìn)行移項(xiàng)變形為y²+8y=1，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，則方程的左邊是完全平方式，右邊是常數(shù)，則利用直接開平方法即可求解；
（3）本題考查用換元法解分式方程的能力．因?yàn)?\frac{{x}^{2}+1}{x}$與$\frac{x}{{x}^{2}+1}$互為倒數(shù)，所以可設(shè)t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，然后對(duì)方程進(jìn)行整理變形；
（4）由方程x-3y=0得x=3y，將x=3y代入第二個(gè)方程，解關(guān)于y的方程可得y的值，再將y的值代回x=3y可得x的值．

解答 解：（1）方程左邊因式分解，得：（x+1）（x-3）=0，
則x+1=0或x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3；
（2）由原方程得：y²+8y=1，
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：y²+8y+16=1+16，
即：（y+4）²=17，
直接開平方的：y+4=$±\sqrt{17}$，
解得：y₁=-4+$\sqrt{17}$，y₂=-4-$\sqrt{17}$；
（3）令t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，則原方程可化為：t+$\frac{2}{t}$=3，即：t²-3t+2=0，
因式分解得：（t-1）（t-2）=0，
∴t=1或t=2，
當(dāng)t=1時(shí)，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=1，即：x²-x+1=0，
∵△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
∴此時(shí)原分式方程無(wú)解；
當(dāng)t=2時(shí)，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=2，即：x²-2x+1=0，
解得：x=1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原分式方程的解，
故緣分是方程的解是：x=1；
（4）由方程x-3y=0，得：x=3y，
將x=3y代入方程x²+y²=20，得：9y²+y²=20，即10y²=20，
解得：y=$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$，
當(dāng)y=$\sqrt{2}$時(shí)，x=3y=3$\sqrt{2}$，
當(dāng)y=-$\sqrt{2}$時(shí)，x=3y=-3$\sqrt{2}$，
故方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查因式分解法、配方法、換元法解方程及代入法解方程組，觀察方程或方程組的特點(diǎn)選擇合適方法是解題的根本，熟練各種方法計(jì)算是關(guān)鍵．