Question

10．拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨著x的增大而減�。�下列結(jié)論①a+b＞0；②若點(diǎn)A（-3，y₁），點(diǎn)B（3，y₂）都在拋物線上，則y₁＜y₂；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，則b²-4ac≤4a．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用x＜-1時(shí)，y隨著x的增大而減小可判斷拋物線開(kāi)口向上，則a＞0，由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，可判斷拋物線的對(duì)稱軸的位置，所以0＜-$\frac{2a}$＜$\frac{1}{2}$，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；通過(guò)比較點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離和點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a-b+c=0，am²+bm+c=0，消去c，再因式分解得到（m+1）（m-1）+b（m-1）=0，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；
利用拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于-1得到$\frac{4ac-^{2}}{4a}$＜-1，然后利用不等式性質(zhì)變形后可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，0），當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜-$\frac{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴a+b＞0，所以①正確；
∵點(diǎn)A（-3，y₁），點(diǎn)B（3，y₂）都在拋物線上，
而點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離要大，
∴y₁＞y₂，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（m，0），
∴a-b+c=0，am²+bm+c=0，
∴am²-a+bm-b=0，即a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0，
∴a（m-1）+b=0，所以③正確；
∵c≤-1，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$＜-1，
∴b²-4ac＞4a，所以④錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．