Question

11．同圓的內(nèi)接正三角形與外切正三角形的周長比是1：2．

Answer 1

分析 作出正三角形的邊心距，連接正三角形的一個頂點和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．

解答 解：如圖所示：
∵圓的內(nèi)接正三角形的內(nèi)心到每個頂點的距離是等邊三角形高的$\frac{2}{3}$，設(shè)內(nèi)接正三角形的邊長為a，
∴等邊三角形的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴該等邊三角形的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∴同圓外切正三角形的邊長=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a×tan30°=2a．
∴周長之比為：3a：6a=1：2，
故答案為：1：2．

點評 本題考查了正多邊形和圓的知識，解題時利用了圓內(nèi)接等邊三角形與圓外接等邊三角形的性質(zhì)求解，關(guān)鍵是構(gòu)造正確的直角三角形．