Question

9．（1）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是菱形；
（2）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，∠ACD=∠ABC，AD=1，AB=3．求AC的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論；
（2）由已知角相等，以及公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ACD與三角形ABC相似，由相似得比例，把AD與AB的長代入求出AC的長即可．

解答 （1）證明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形；
（2）解：∵∠ACD=∠ABC，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD：AC=AC：AB，
∵AD=1，AB=3，
∴AC=$\sqrt{3}$．

點評 （1）此題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（2）此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．