Question

對于圖形S和圖象T給一下定義：點P在圖象S上，點Q在圖形T上，則稱點P與點Q的距離的最小值為圖形S與圖形T的距離．在平面直角坐標系xOy中，⊙M的半徑為1，且圓心M的坐標為（t，0），直線y=-

3

3

x+2

3

與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）若點A與⊙M的距離為

1

2

，請直接寫出實數(shù)t的所有可能值；
（2）若點C的坐標為（6，2

3

），⊙M與△ABC的距離為0，求t的取值范圍；
（3）記線段AB與⊙M的距離為d，若0＜d＜1，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)坐標軸點的坐標特征得到A（6，0），B（0，2

3

），利用三角函數(shù)的定義可計算出∠OAB=30°，然后利用新定義得到AM=1.5，再分類討論：當點M在點A的左側(cè)時，OM=OA-AM=4.5，當點M在點A的右側(cè)時，OM=OA+AM=7.5，即t=4.5或7.5；
（2）根據(jù)C點坐標可判斷CA⊥x軸，根據(jù)新定義得到⊙M與△ABC的邊相切或相交，作MH⊥AB于H，根據(jù)切線的判定，當MH=1時，⊙M與AB相切于H，可計算出此時AM=2MH=2，得到t=4；當點M在點A的右側(cè)時，當MA=1時，⊙M與AC相切于A，此時t=7，所以4≤t≤7時，⊙M與△ABC的距離為0；
（3）分類討論：當點M在點A的左側(cè)時，由0＜d＜1，根據(jù)新定義得1＜MH＜2，而AM=2MH，則2＜AM＜4，于是得到2＜t＜4；當點M在點A的右側(cè)時，點M到點A的距離為線段AB與⊙M的距離，則1＜MA＜2，所以7＜t＜8．

解答：解：（1）當y=0時，-

3

3

x+2

3

=0，解得x=6，則A（6，0）；
當x=0時，y=-

3

3

x+2

3

=2

3

，則B（0，2

3

），
∵tan∠OAB=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∵點A與⊙M的距離為

1

2

，
∴AM=1+

1

2

=1.5，
當點M在點A的左側(cè)時，OM=OA-AM=6-1.5=4.5，
當點M在點A的右側(cè)時，OM=OA+AM=6+1.5=7.5，
即t=4.5或7.5；
（2）∵點C的坐標為（6，2

3

），
∴CA⊥x軸，
∵⊙M與△ABC的距離為0，
∴⊙M與△ABC的邊相切或相交，
作MH⊥AB于H，當MH=1時，⊙M與AB相切于H，
∵∠OAB=30°，
∴AM=2MH=2，此時t=4，
當點M在點A的右側(cè)時，當MA=1時，⊙M與AC相切于A，此時t=7，
∴t的取值范圍為4≤t≤7；
（3）當點M在點A的左側(cè)時，
∵0＜d＜1，
∴1＜MH＜2，
∵AM=2MH，
∴2＜AM＜4，
∴2＜OM＜4，即2＜t＜4；
當點M在點A的右側(cè)時，
∵0＜d＜1，
∴1＜MA＜2，
∴1＜OM＜8，
即7＜t＜8．
綜上所述，0＜d＜1，實數(shù)t的取值范圍為2＜t＜4或7＜t＜8．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定方法、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；提高對新概念的理解能力；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．