Question

10．△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，P沿AC運(yùn)動(dòng)，Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，結(jié)果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的幾倍？
（2）當(dāng)AP為何值時(shí)，△APQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P、Q同時(shí)出發(fā)、同時(shí)到達(dá)，知P、Q時(shí)間一致，路程比即等于速度比可得；
（2）分點(diǎn)Q在AB、BC上運(yùn)動(dòng)討論，點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)面積最大值小于$\frac{3\sqrt{3}}{16}$情況排除，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出AP邊上的高，根據(jù)面積列出方程求解可得AP的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，
∴BC=2，AC=$\sqrt{3}$，
∵兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C
∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$倍；

（2）設(shè)AP=x，由（1）知Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為$\sqrt{3}$x，
①點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，0≤$\sqrt{3}x$≤1，即0≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，△APQ的面積最大；
此時(shí)AQ=AB=1，則AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故△APQ的面積為：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜$\frac{3\sqrt{3}}{16}$；
②點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，1＜$\sqrt{3}x$≤3，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x≤$\sqrt{3}$；

如圖所示，過點(diǎn)Q作QM⊥AC，垂足為M，
則CQ=3-$\sqrt{3}$x，
∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
∴QM=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{3-\sqrt{3}x}{2}$，
根據(jù)題意，得：$\frac{1}{2}•x•\frac{3-\sqrt{3}x}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（符合題意）．
答：當(dāng)AP為$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，△APQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)綜合問題，求AP的值分情況討論是前提，求出高并根據(jù)面積列出方程求解是關(guān)鍵．