Question

7．如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連結(jié)AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（圖（2）、供畫(huà)圖探究）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰三角的定義，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得b的值，可得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分成$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°和$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°兩種情況求得QB的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C（0，3），當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即B（3，0），
將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）如圖1，
y=x²-4x+3=（x-2）²-1，即P（2，-1），
對(duì)稱軸為x=2，設(shè)M（2，b），MP=|b+1|，CP=2$\sqrt{5}$，MC=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$，
當(dāng)MC=MP時(shí)，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=|b+1|，化簡(jiǎn)，得8b=12，解得b=$\frac{3}{2}$，即M（2，$\frac{3}{2}$）；
當(dāng)MC=CP時(shí)，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，化簡(jiǎn)，得b²-6b-7=0，解得b=7，b=-1（舍），即M（2，7）；
當(dāng)MP=CP時(shí)，|b+1|=2$\sqrt{5}$，化簡(jiǎn)，得b²+2b-19=0，解得b=-1+2$\sqrt{5}$，b=-1-2$\sqrt{5}$，
M（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$），
綜上所述：在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）；（2，7）；（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
（3）如圖2，
①當(dāng)$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q₁的坐標(biāo)是（0，0）．
②當(dāng)$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴Q₂的坐標(biāo)是（$\frac{7}{3}$，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類(lèi)求得QB的長(zhǎng)是關(guān)鍵．