Question

16．如圖，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．當(dāng)BD、AC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，得到EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，得到四邊形EFGH是平行四邊形，知四邊形EFGH是平行四邊形，再由AC=BD，得出EH=EF，從而證得四邊形EFGH是菱形．對(duì)角線(xiàn)相等，推知四邊形EFGH是正方形

解答 解：當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．理由如下：
在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，
所以EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四邊形EFGH是平行四邊形．
EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD，
若AC=BD，則有EH=EF，
又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG=90°，
即：當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理、菱形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)以及正方形的判定，中位線(xiàn)是三角形中的一條重要線(xiàn)段，由于它的性質(zhì)與線(xiàn)段的中點(diǎn)及平行線(xiàn)緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．