Question

如圖，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點A和C疊合在一起，得到折痕EF．
（1）證明四邊形AECF是菱形；
（2）計算折痕EF的長；
（3）求△CEH的面積．

Answer 1

解：（1）如圖，∵AB∥CD，
∴AF∥CE，CF∥HE，根據(jù)對稱性，知∠CEH=∠AED，
∵D、E、C三點共線，
∴A、E、H三點共線，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AF=CF，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）設(shè)AF=x，則CF=x，BF=9-x．
在△BCF中，CF²=BF²+BC²，
∴x²=（9-x）²+3²，
解得x=5，即CF=5，BF=4．
過E作EM⊥AB交AB于M，則MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，
EM=3．
∴；

（3）根據(jù)對稱性，知△CEH≌△AED，
所以S_△CEH=S_△AED=DE•AD=（AF-MF）•AD=×4×3=6（cm²）．
分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的判定定理求出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AF=CF即可求出答案；
（2）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可得到AF=CF，設(shè)AF=x，則CF=x，BF=9-x，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可求出CF、BF的長，過E作EM⊥AB交AB于M，在Rt△EMF中利用勾股定理即可求出EF的長；
（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)可知△CEH≌△AED，再由三角形的面積公式即可求解．
點評：本題考查的是圖形折疊的性質(zhì)及勾股定理，解答此類問題時首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運用勾股定理列出方程求出答案．