Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E．K為上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD．
（1）求證：∠AKD=∠CKF；
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD、AC．根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”以及同角得到補(bǔ)角相等，推知∠CKF=∠ADC；然后由圓心角、弧、弦間的關(guān)系以及圓周角定理證得∠ADC=∠AKD；最后根據(jù)圖中角與角間的和差關(guān)系證得結(jié)論；
（2）連接OD．利用垂徑定理知DE=CE=CD=3；然后在Rt△ODE中根據(jù)勾股定理求得OE=4；最后在Rt△ADE中利用三角函數(shù)的定義求得tan∠ADE=3，由等量代換知tan∠CKF=3．
解答：（1）證明：連接AD、AC．
∵∠CKF是圓內(nèi)接四邊形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，
∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC；
∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴=
∴
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；

（2）解：連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，AB=10，
∴OD=5；
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=CE=CD=3（垂徑定理）；
在Rt△ODE中，OE==4，
∴AE=9；
在Rt△ADE中，tan∠ADE==3；
∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．
點評：此題考查了圓的綜合題．解答此題時，綜合利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及解直角三角形等知識．