【題目】已知,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸的正半軸交于點(diǎn)A,與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B, ,過點(diǎn)A作軸的垂線與過點(diǎn)O的直線相交于點(diǎn)C,直線OC的解析式為,過點(diǎn)C作軸,垂足為.
(1)如圖1,求直線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)N在線段上,連接ON,點(diǎn)P在線段ON上,過P點(diǎn)作軸,垂足為D,交OC于點(diǎn)E,若,求的值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)F為線段AB上一點(diǎn),連接OF,過點(diǎn)F作OF的垂線交線段AC于點(diǎn)Q,連接BQ,過點(diǎn)F作軸的平行線交BQ于點(diǎn)G,連接PF交軸于點(diǎn)H,連接EH,若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)根據(jù)題意求出A,B的坐標(biāo)即可求出直線AB的解析式;
(2)求出N(3,9),以及ON的解析式為y=3x,設(shè)P(a,3a),表達(dá)出PE及OD即可解答;
(3)如圖,設(shè)直線GF交CA延長線于點(diǎn)R,交y軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)F作FT⊥x軸于點(diǎn)T,先證明四邊形OSRA為矩形,再通過邊角關(guān)系證明△OFS≌△FQR,得到SF=QR,進(jìn)而證明△BSG≌△QRG,得到SG=RG=6,設(shè)FR=m,根據(jù),以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值,得到FS=8,AR=4,證明四邊形OSFT為矩形,得到OT=FS=8,根據(jù)∠DHE=∠DPH,利用正切函數(shù)的定義得到,從而得到DH=,根據(jù)∠PHD=∠FHT,得到HT=2,再根據(jù)OT=OD+DH+HT,列出關(guān)于a的方程即可求出a的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)∵CM⊥y軸,OM=9,
∴當(dāng)y=9時,,解得:x=12,
∴C(12,9),
∵CA⊥x軸,則A(12,0),
∴OB=OA=12,則B(0,-12),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
∴,解得:,
∴;
(2)由題意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,
∴四邊形MOAC為矩形,
∴MC=OA=12,
∵NC=OM,
∴NC=9,則MN=MC-NC=3,
∴N(3,9)
設(shè)直線ON的解析式為,
將N(3,9)代入得:,解得:,
∴y=3x,
設(shè)P(a,3a)
∵PD⊥x軸交OC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D,
∴,,
∴PE=,OD=a,
∴;
(3)如圖,設(shè)直線GF交CA延長線于點(diǎn)R,交y軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)F作FT⊥x軸于點(diǎn)T,
∵GF∥x軸,
∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR,
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,
則四邊形OSRA為矩形,
∴OS=AR,SR=OA=12,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,
∴∠FAR=∠AFR,
∴FR=AR=OS,
∵QF⊥OF,
∴∠OFQ=90°,
∴∠OFS+∠QFR=90°,
∵∠SOF+∠OFS=90°,
∴∠SOF=∠QFR,
∴△OFS≌△FQR,
∴SF=QR,
∵∠SFB=∠AFR=45°,
∴∠SBF=∠SFB,
∴BS=SF=QR,
∵∠SGB=∠RGQ,
∴△BSG≌△QRG,
∴SG=RG=6,
設(shè)FR=m,則AR=m,
∴QR=SF=12-m,
∴AF=,
∵,
∴GQ=,
∵QG2=GR2+QR2,即,解得:m=4,
∴FS=8,AR=4,
∵∠OAB=∠FAR,FT⊥OA,FR⊥AR,
∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,
∴四邊形OSFT為矩形,
∴OT=FS=8,
∵∠DHE=∠DPH,
∴tan∠DHE=tan∠DPH,
∴,
由(2)可知,DE=,PD=3a,
∴,解得:DH=,
∴tan∠PHD=,
∵∠PHD=∠FHT,
∴tan∠FHT=,
∴HT=2,
∵OT=OD+DH+HT,
∴,
∴a=,
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的對角線相交于點(diǎn)按下列步驟作圖:①以點(diǎn)為圓心,任意長為半徑作弧,分別交于點(diǎn);②以點(diǎn)為圓心,長為半徑作弧,交于點(diǎn);③點(diǎn)為圓心,以長為半徑作弧,在內(nèi)部交②中所作的圓弧于點(diǎn);④過點(diǎn)作射線交于點(diǎn).,四邊形的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】快車和慢車分別從市和市兩地同時出發(fā),勻速行駛,先相向而行,慢車到達(dá)市后停止行駛,快車到達(dá)市后,立即按原路原速度返回市(調(diào)頭時間忽略不計),結(jié)果與慢車同時到達(dá)市.快、慢兩車距市的路程、(單位:)與出發(fā)時間(單位:)之間的函數(shù)圖像如圖所示.
(1)市和市之間的路程是________,圖中____________;
(2)請求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)快車與慢車迎面相遇以后,請直接寫出經(jīng)過多長時間兩車相距?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E.垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F,動直線l在拋物線的對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到B點(diǎn).
(1)求出二次函數(shù)y=ax2+bx+4和BC所在直線的表達(dá)式;
(2)在動直線l移動的過程中,試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連接CP,CD,在移動直線l移動的過程中,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與DCE相似,如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校教職工為慶!敖▏周年”開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識競賽,本次知識競賽分為甲、乙、丙三組進(jìn)行.下面兩幅統(tǒng)計圖反映了教師參加學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識競賽的報名情況,請你根據(jù)圖中的信息回答下列問題:
(1)該校教師報名參加本次學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識競賽的總?cè)藬?shù)為___________人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)該校教師報名參加丙組的人數(shù)所占圓心角度數(shù)是__________;
(3)根據(jù)實(shí)際情況,需從甲組抽調(diào)部分教師到丙組,使丙組人數(shù)是甲組人數(shù)的倍,應(yīng)從甲組抽調(diào)多少名教師到丙組?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A,B兩點(diǎn).且點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求該一次函數(shù)的解析式;
(2)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AD=BD,過點(diǎn)C作CE∥BD,交AD的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形BDEC是菱形;
(2)連接BE,若AB=2,AD=4,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,菱形ABCD中,E,F分別是對角線BD和邊BC上一點(diǎn),且滿足∠EAF=∠ABD=.
(1)如圖(1),當(dāng)=45°時,求證:AF=AE
(2)如圖(2),探究AF與AE的數(shù)量關(guān)系(用含的銳角三角函數(shù)表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某游泳館每年夏季推出兩種游泳付費(fèi)方式,方式一:先購買會員證,每張會員證100元,只限本人當(dāng)年使用,憑證游泳每次再付費(fèi)5元;方式二:不購買會員證,每次游泳付費(fèi)9元.
設(shè)小明計劃今年夏季游泳次數(shù)為x(x為正整數(shù)).
(I)根據(jù)題意,填寫下表:
游泳次數(shù) | 10 | 15 | 20 | … | x |
方式一的總費(fèi)用(元) | 150 | 175 | ______ | … | ______ |
方式二的總費(fèi)用(元) | 90 | 135 | ______ | … | ______ |
(Ⅱ)若小明計劃今年夏季游泳的總費(fèi)用為270元,選擇哪種付費(fèi)方式,他游泳的次數(shù)比較多?
(Ⅲ)當(dāng)x>20時,小明選擇哪種付費(fèi)方式更合算?并說明理由.
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