Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長至點(diǎn)G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．
（1）求證：四邊形EDFG是正方形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最��？并求四邊形EDFG面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中， ，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點(diǎn)，GO=OD，

∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四邊形EDFG是正方形

（2）解：過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′= BC=2，AB=4 ，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，

∴2≤DE＜2 （點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．

∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

【解析】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2 ，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°)，還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．