Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④PF=FO；⑤當(dāng)PE=PF時，點P是AB的中點．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A、5個
• B、4個
• C、3個
• D、2個

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，

∠BAC=∠DAC AE=AE ∠AEP=∠AEM

，
∴△APE≌△AME，故①正確；
∴PE=EM=

1

2

PM，
同理，F(xiàn)P=FN=

1

2

NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=

1

2

PM，F(xiàn)P=FN=

1

2

NP，OA=

1

2

AC，
∴PM+PN=AC，故②正確；
∵四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正確；
當(dāng)AP=BP時，PF=FO，故④錯誤；
∵由①知△APE≌△AME，
∴PM=2PE，
同理可得，PN=2PF，
∵PE=PF，
∴PM=PN，
∴點P是AB的中點，故⑤正確．
故選B．

點評：本題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理得綜合應(yīng)用，認(rèn)識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵．