Question

已知如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=8，∠B=60°，連接AC．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）若E、F分別是AB、DC的中點，連接EF，求線段EF的長．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AD=DC可以得到∠DAC=∠DCA=∠ACB，而AB=DC，∠B=60°，根據(jù)梯形的性質(zhì)可以得到∠ACB=30°，由此即可求出cos∠ACB的值；
（2）由于E、F分別是AB、DC的中點，連接EF，那么EF是梯形的中位線，如圖，過A作AM∥CD交CB于M，由此得到四邊形ADCM是平行四邊形，根據(jù)已知條件首先得到△ABM是等邊三角形后即可求出CB，然后利用中位線的性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB，
∵AB=DC，∠B=60°，
∴∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠ACB=30°，
∴cos∠ACB=

3

2

；

（2）如圖，過A作AM∥CD交CB于M，
∴四邊形ADCM是平行四邊形，
∴AM=CD，AD=CM，
而AB=DC，∠B=60°，
∴△ABM是等邊三角形，
∴BM=AB，
∴CB=2AD=16，
∵若E、F分別是AB、DC的中點，
∴EF是梯形的中位線，
∴EF=

1

2

（AD+BC）=12．

點評：此題考查了梯形的常用輔助線之一平移梯形的腰，把梯形的問題轉(zhuǎn)換成平行四邊形和等邊三角形的問題，然后利用它們的性質(zhì)解決問題．