Question

已知Rt△ABC中，∠A=30゜，∠C=90゜，D為射線AB上一動點，經(jīng)過點C的⊙O與直線AB相切于點D，交射線AC于點E．
（1）如圖1，點D在邊AC上，若AB=12，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，CD平分∠ACB，⊙O的半徑為1，求AC的長．

Answer 1

解：（1）連結(jié)OD，如圖1，
∵∠A=30゜，∠C=90゜，AB=12，
∴BC=AB=6，
∵點O在邊AC上，
∴BC為⊙O的切線，
而⊙O與直線AB相切于點D，
∴BD=BC=6，OD⊥AB，
∴AD=6，
在Rt△AOD中，OD=AD=2，
即⊙O的半徑為2．

（2）作OH⊥CE于H，EF⊥AD于F，連結(jié)OC、OD、OE，如圖2，
∵⊙O與直線AB相切于點D，
∴OD⊥AB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=45°，
∴∠DOE=2∠DCE=90°，
而OD=OE，
∴四邊形ODFE為正方形，
∴EF=OE=1，
在Rt△AEF中，AE=2EF=2，
∵OE∥AB，
∴∠OEC=30°，
在Rt△OEH中，OH=OE=，
∴EH=OH=，
∵OH⊥CE，
∴CH=EH，
∴CE=2EH=，
∴AC=CE+AE=2+．
分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=6，由點O在邊AC上，∠ACB=90°可得到BC為⊙O的切線，而⊙O與直線AB相切于點D，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得BD=BC=6，OD⊥AB，所以AD=6，然后再次根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求OD；
（2）作OH⊥CE于H，EF⊥AD于F，連結(jié)OC、OD、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AB，根據(jù)圓周角定理得∠DOE=2∠DCE=90°，易得四邊形ODFE為正方形，所以EF=OE=1，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AE、HE；由于OH⊥CE根據(jù)垂徑定理得CE=2EH，最后利用AC=CE+AE計算即可．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．