Question

14．閱讀下列解題過程：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；$\sqrt{1-\frac{5}{9}}$=$\sqrt{\frac{4}{9}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$；$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$=$\sqrt{\frac{9}{16}}$=$\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$；…
（1）$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\frac{7}{8}$．
（2）觀察上面的解題過程，則$\sqrt{1-\frac{2n+1}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{n}{n+1}$（n為自然數(shù)）
（3）利用這一規(guī)律計算：$\sqrt{（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{5}{9}）（1-\frac{7}{16}）…（1-\frac{99}{2500}）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)算術(shù)平方根，即可解答．
（2）根據(jù)（1），利用算術(shù)平方根，進行解答；
（3）先分別計算出減法，再進行乘法計算，最后利用算術(shù)平方根即可解答．

解答 解：（1）$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$，故答案為：$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{8}$．
（2）觀察上面的解題過程，則$\sqrt{1-\frac{2n+1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}-2n-1}{（n+1）^{2}}}=\sqrt{\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{n}{n+1}$，故答案為：$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{4}{9}×\frac{9}{16}×…×\frac{2401}{2500}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2500}}$
=$\frac{1}{50}$．

點評 本題考查了算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記算術(shù)平方根的定義．