Question

11．如圖，已知△ABC∽△DEF，AG，BM分別為△ABC的高和中線，DH，EN分別為△DEF的高和中線，求證：AG•EN=BM•DH．

Answer 1

分析 由△ABC∽△DEF可知∠ABG=∠DEH，然后由高線的定義可知∠AGB=∠DHE，從可證明△ABG∽△DEH，于是得到；$\frac{AG}{DH}=\frac{AB}{ED}$，由△ABC∽△DEF可知∠BAM=∠EDN，$\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DF}$，由中線的定義可知$\frac{AM}{DN}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}DF}=\frac{AC}{DF}$，故此可證明△ABM∽△DEN，從而得到$\frac{BM}{EN}=\frac{AB}{ED}$，于是得到$\frac{AG}{DH}=\frac{BM}{EN}$，整理得：AG•EN=BM•DH．

解答 解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠ABG=∠DEH．
∵AG為△ABC的高，DH為△DEF的高，
∴∠AGB=∠DHE=90°．
∴△ABG∽△DEH．
∴$\frac{AG}{DH}=\frac{AB}{ED}$．
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAM=∠EDN，$\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DF}$．
∵BM、EN分別是三角形的中線，
∴AM=$\frac{1}{2}AC$，DN=$\frac{1}{2}DF$．
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AC}{DF}$．
∴△ABM∽△DEN．
∴$\frac{BM}{EN}=\frac{AB}{ED}$．
∴$\frac{AG}{DH}=\frac{BM}{EN}$．
∴AG•EN=BM•DH．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△ABG∽△DEH、△ABM∽△DEN是解題的關(guān)鍵．