Question

我們運(yùn)用圖中大正方形的面積可表示為（a+b）²，也可表示為c²+4（ab），即（a+b）²=c²+4（ab），由此推導(dǎo)出一個(gè)重要的結(jié)論，a²+b²=c²，這個(gè)重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無(wú)字證明”．

（1）請(qǐng)你用圖（II）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形的較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c）
（2）請(qǐng)你用圖（III）提供的圖形組合成一個(gè)新的圖形，使組合成的圖形的面積表達(dá)式能夠驗(yàn)證（x+y）²=x²+2xy+y²．畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．
（3）請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)一個(gè)組合圖形，使它的面積能驗(yàn)證：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²，畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．

Answer 1

解：（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：（b-a）²；
四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：4×ab；
由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：
c²=（b-a）²+4×ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如圖1所示：大正方形邊長(zhǎng)為（x+y）所以面積為：（x+y）²，
它的面積也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x，y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為y的矩形面積之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如圖2所示：大矩形的長(zhǎng)、寬分別為（n+m），（n+2m），則其面積為：（m+n）•（n+2m），
從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形以及2個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：
2m²+3mn+n²，
則有：（n+m）（n+2m）=2m²+3mn+n²．
分析：（1）根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；
（2）可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是x、y的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是x、y的長(zhǎng)方形組成；
（3）可以拼成一個(gè)長(zhǎng)、寬分別是m+n和n+2m的長(zhǎng)方形，它由邊長(zhǎng)是m的正方形，以及邊長(zhǎng)為n的正方形和長(zhǎng)寬分別是n和m的矩形進(jìn)而得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的證明，注意熟練掌握通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)證明一些公式的方法．