Question

已知關于x的方程

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x²-（m-2）x+m=0．試問是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于22？若存在，求出滿足條件的m的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：

分析：利用根與系數(shù)的關系，化簡x₁²+x₂²=22，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22．根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得到關于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．

解答：解：假設存在，則有x₁²+x₂²=22．
∵x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22，
即（4m-8）²-2×4m=22，
∴8m²-36m+21=0，
∴m₁=

9+ 39

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，m₂=

9- 39

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．
∵△=（m-2）²-m=m²-5m+4≥0，
∴m≤1或m≥4，
∴m₁=

9+ 39

4

不符合題意，m₂=

9- 39

4

符合題意，
故存在正數(shù)m=

9- 39

4

，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于22．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．考查了根與系數(shù)的關系，也考查了存在性問題的解題方法和格式．