Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．
（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC的什么位置時(shí)，DE=DF？并證明．
（2）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明：
（3）若D在底邊BC的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF，根據(jù)AAS證△BED≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；
（3）類似（2）的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來(lái)確定線段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF，理由如下：
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DEB=∠DFC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）DE+DF=CG．
證明：連接AD，
則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即$\frac{1}{2}$AB•CG=$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，但有DE-DF=CG．
理由：連接AD，則S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$AB•CG+$\frac{1}{2}$AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有DE-DF=CG，說(shuō)明方法同上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時(shí)候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，來(lái)進(jìn)行證明結(jié)論的方法，是非常獨(dú)特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用．