Question

如圖，點M是Rt△ABC斜邊BC的中點，點P、Q分別在AB、AC上，且PM⊥QM．
（1）如圖1，若P、Q分別是AB、AC的中點，求證：PQ²=PB²+QC²；            
（2）如圖2，若P、Q分別是線段AB、AC的動點（不與端點重合）（1）中的結論還成立嗎？若成立請給與證明，若不成立請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質,勾股定理,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）由中位線的性質就可以得出四邊形PBMQ為平行四邊形，就有PB=MQ，∠B=∠QMC，就可以得出△MQC是直角三角形，由勾股定理就可以得出結論；
（2）延長PM到N，使MN=MP，連接CN就可以得出PQ=NQ，由△PMB≌△CMN，就可以得出PB=NC，∠B=∠NCM，就可以得出△NCQ是直角三角形，由勾股定理就可以得出結論．

解答：證明：（1）如圖1，∵P、Q分別是AB、AC的中點，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ∥BC，PQ=

1

2

BC．
∵M是BC的中點，
∴BM=CM=

1

2

BC，
∴BM=PQ=CM，
∴四邊形PBMQ是平行四邊形，
∴PB=QM，PB∥QM，
∴∠B=∠QMC．
∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠QMC+∠C=90°，
∴∠MQC=90°．
∴MQ²+CQ²=CM²，
∴BP²+CQ²=PQ²；
（2）PQ²=PB²+QC²成立．
理由：如圖2，延長PM到N，使MN=MP，連接CN．
∵M是BC的中點，
∴BM=CM．
在△BMP和△CMN中

BM=CM ∠BMP=∠CMN MP=MN

，
∴△BMP≌△CMN（SAS），
∴PB=NC，∠B=∠NCM．
∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠NCM+∠ACB=90°，
即∠NCQ=90°．
∴QN²=CQ²+CN²．
∵PM⊥QM，PM=NM，
∴PQ=NQ，
∴PQ²=PB²+QC²．

點評：本題考查了直角三角形的性質的運用，中垂線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，三角形中位線的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．