Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為原點(diǎn)，A（0，6），B（8，0）。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AO方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

（1）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，若△POQ與△AOB相似，求t的值；

（2）如圖2，當(dāng)直線PQ與線段AB交于點(diǎn)M，且時(shí)，求直線PQ的解析式；

（3）以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫圓⊙O，以點(diǎn)B為圓心，BQ長(zhǎng)為半徑畫⊙B，討論⊙O和⊙B的位置關(guān)系，并直接寫出相應(yīng)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）據(jù)題意，t秒時(shí)AP=2t，BQ= t，OP =，OQ= 8+t 。

若△POQ∽△AOB，則，即，

解得，                                       

若△POQ∽△BOA，則，即

解得，                                    

∴當(dāng)或25時(shí) △POQ與△AOB相似．           

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．

根據(jù)題意得PO//MN，∴△BMN∽△BAO    ∴

∵     ∴        ∴     ∴ MN=1

同理 MG=     ∴ M（，1）             

∵ OQ= 8+t    ∴ NQ=

由△QMN∽△QPO得：，即。

解得：，或者t=0（舍去）

∴ P（0，）                                 

∴PQ直線解析式：                   

（3）當(dāng)且t≠3時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí) 兩圓內(nèi)含．

【解析】(1) △POQ∽△AOB,分兩種情況進(jìn)行討論；

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．利用△BMN∽△BAO得出，從而得出MN的長(zhǎng)，同理可得MG的長(zhǎng)，得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求出PQ的解析式；

（3）對(duì)t進(jìn)行分段討論。