Question

5．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于點A（-3，0）和點B，與y軸相交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，直線y=kx+3k經(jīng)過點A，與y軸正半軸相交于點D，點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，連接PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，與線段AD相交于點E，且∠EPD=2∠PDC，若∠AEP+∠ADP=90°，求點D的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點E作EF⊥PD，垂足為點G，EF與y軸相交于點F，連接PF，若sin∠PFC=$\frac{1}{3}$，求PF的長．

Answer 1

分析 （1）直接把A點坐標代入y=x²+bx-3求出b的值即可得到拋物線解析式為y=x²+2x-3；
（2）如圖2，由三角形外角性質(zhì)得∠AEP=∠2+∠3，加上∠3=2∠1，則∠AEP=∠2+2∠1，再利用∠AEP+∠2=90°可∠1+∠2=45°，于是可判斷△AOD為等腰直角三角形，則OD=OA=3，由此得到D點坐標為（0，3）；
（3）過D作DH⊥y軸交PE的延長線于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y軸于N，如圖3，利用PM∥DN得到∠PDC=∠DPM，加上∠EPD=2∠PDC，則∠HPM=∠DPM，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得MH=MD，接著判斷四邊形PNDM為矩形得到MD=PN，則DH=2PN，然后證明△DEH≌△DEF得到DH=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用正弦定義可得到PF=3PN，利用勾股定理得FN=$\sqrt{2}$PN，設(shè)P點坐標為（t，t²+2t-3），則DF=-2t，F(xiàn)N=-2$\sqrt{2}$t，于是可表示出ON=DF+FN-OD=-2t-2$\sqrt{2}$t-3，所以-2t-2$\sqrt{2}$t-3=-（t²+2t-3），解方程得到得t₁=-$\sqrt{2}$，t₂=3$\sqrt{2}$（舍去），所以PF=3PN=3$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y=x²+bx-3得9-3b-3=0，解得b=2，
所以拋物線解析式為y=x²+2x-3；
（2）如圖2，∵∠AEP=∠2+∠3，
而∠3=2∠1，
∴∠AEP=∠2+2∠1，
∵∠AEP+∠2=90°，
∴∠2+2∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠2=45°，即∠ADO=45°，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∴OD=OA=3，
∴D點坐標為（0，3）；
（3）過D作DH⊥y軸交PE的延長線于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y軸于N，如圖3，
∵PM∥DN，
∴∠PDC=∠DPM，
∵∠EPD=2∠PDC，
∴∠HPM=∠DPM，
而PM⊥DH，
∴MH=MD，
易得四邊形PNDM為矩形，
∴MD=PN，
∴DH=2PN，
∵EF⊥PD，
∴∠GDF+∠DFG=90°，
而∠PHD+∠HPM=90°，
∴∠DFG=∠PHM，
∵∠ADF=45°，
∴∠HDE=45°，
在△DEH和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠DFE}\\{∠HDE=∠FDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△DEF，
∴DH=DF，
∴DF=2MD=2PN，
在Rt△PFN中，∵sin∠PFC=$\frac{PN}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
∴PF=3PN，
∴FN=$\sqrt{P{F}^{2}-P{N}^{2}}$=$\sqrt{9P{N}^{2}-P{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$PN，
設(shè)P點坐標為（t，t²+2t-3），則DF=-2t，F(xiàn)N=-2$\sqrt{2}$t，
∴ON=DF+FN-OD=-2t-2$\sqrt{2}$t-3，
∴-2t-2$\sqrt{2}$t-3=-（t²+2t-3），
整理得t₁=-$\sqrt{2}$，t₂=3$\sqrt{2}$（舍去），
∴PF=3PN=-3t=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等腰三角形的性質(zhì)；會應(yīng)用三角形全等證明線段相等；理解銳角三角函數(shù)的定義．