Question

如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
①DC′平分∠BDE；②BC長(zhǎng)為（

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+2）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=

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BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DBE=

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∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=

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a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，則∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可計(jì)算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判斷DC′不平分∠BDE；
②易得AC=AD+DC=a+

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a，利用BC=

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AC可得到BC長(zhǎng)為（

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+2）a；
③由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；
④計(jì)算△CED的周長(zhǎng)為DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，則有△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．

解答：解：∵∠BDC′=22.5°，∠C′DE=45°，
∴∠BDC′≠∠C′DE，即DC′不平分∠BDE，
故①錯(cuò)誤；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，
CD=DC′=

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a，
∴AC=a+

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a，BC=

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AC=（

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+2）a，
故②正確；
∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠DBC=22.5°，∠DC′C=∠DBC′+∠BDC′，
∴∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，即△BC′D是等腰三角形，
故③正確；
∵△CED的周長(zhǎng)=DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，BC=（

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+2）a，
∴△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，
故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，同時(shí)考查了等腰直角三角形，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，等角對(duì)等邊等知識(shí)．