Question

已知直線y=4-x與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，有反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0，x＞0）的圖象與之在同一坐標(biāo)系．

（1）若直線y=4-x與反比例函數(shù)圖象相切，求m的值；
（2）如圖1，若兩圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，利用函數(shù)圖象求關(guān)于x的不等式4-x＜

m

x

的解集；
（3）在（2）的情況下，過(guò)點(diǎn)A向y軸作垂線AM，垂足為M，如圖2，有一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿O→B→A→M（BA段為曲線）的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，由點(diǎn)p分別向x、y軸作垂線，垂足為E、F，四邊形OEPF的面積為S，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,根的判別式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,矩形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）若直線y=4-x與反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0，x＞0）的圖象相切，則方程4-x=

m

x

即x²-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式等于0，從而可以求出m的值．
（2）由條件可依次求出點(diǎn)A的坐標(biāo)、反比例函數(shù)的解析式、點(diǎn)B的坐標(biāo)；設(shè)y₁=4-x，y₂=

m

x

，可將“求關(guān)于x的不等式4-x＜

m

x

的解集”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)y₁的函數(shù)值小于函數(shù)y₂的函數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍”，只需結(jié)合圖象就可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），易證四邊形OEPF是矩形，從而得到S=S_矩形OEPF=OE•OF=ab．然后對(duì)點(diǎn)P分別在線段OB、雙曲線上BA段、線段AM三個(gè)位置進(jìn)行討論，即可求出對(duì)應(yīng)的S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）若直線y=4-x與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象相切，
則方程4-x=

m

x

即方程x²-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則（-4）²-4×1×m=0．
∴m=4．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，點(diǎn)B作BG⊥x軸，垂足為G，如圖1，
∵點(diǎn)A在直線y=4-x上，且x_A=1，
∴y_A=4-1=3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
∴x_H=1．
∵點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)y=

m

x

圖象上，
∴m=1×3=3．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
聯(lián)立

y=4-x y= 3 x

，
解得：

x=1 y=3

或

x=3 y=1

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．
∴x_G=3．
設(shè)y₁=4-x，y₂=

m

x

（m＞0，x＞0），
結(jié)合圖象可得：
當(dāng)0＜x＜1或x＞3時(shí)，y₁＜y₂，即4-x＜

m

x

．
∴關(guān)于x的不等式4-x＜

m

x

的解集為0＜x＜1或x＞3．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴OE=a，OF=b．
∵PE⊥x軸，PF⊥y軸，OE⊥OF，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°．
∴四邊形OEPF是矩形．
∴S=S_矩形OEPF=OE•OF=ab．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，如圖2，
設(shè)OB的解析式為y=kx，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）
∴3k=1．
∴k=

1

3

．
∴OB的解析式為y=

1

3

x．
∵點(diǎn)P在線段OB上，
∴b=

1

3

a．
∴S=ab=

1

3

a²．
②當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y=

3

x

上時(shí)，如圖3，
則有ab=3．
∴S=ab=3．
③當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上時(shí)，如圖4，
此時(shí)b=3．
∴S=ab=3a．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，S=

1

3

a²；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上時(shí)，S=3；當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上時(shí)，S=3a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、矩形的判定與性質(zhì)、根的判別式等知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，是一道好題．