Question

2．在Rt△ABC中，點D為斜邊AB的中點，P為AC邊一動點，△BDP沿著PD所在的直線對折，點B的對應(yīng)點為E．
（1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的長；
（2）當(dāng)AD=PE時，求證：四邊形BDEP為菱形；
（3）若BC=5，∠A=30°，P點從C點運動到A點，在這個過程中，求E點所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明△ADP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可；
（2）根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形證明即可；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義求出P點從C點運動到A點E點運動的圓心角，根據(jù)弧長公式計算即可．

解答 （1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=13，
∵PD⊥AB，∠C=90°，
∴△ADP∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{6.5}{12}$=$\frac{AP}{13}$，
解得，AP=$\frac{169}{24}$；
（2）證明：由翻折變換的性質(zhì)可知，PB=PE，DB=DE，
∵AD=PE，BD=AD，
∴BP=PE=ED=DB，
∴四邊形BDEP為菱形；
（3）∵BC=5，∠A=30°，
∴AB=2BC=10，
∴DE=BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
當(dāng)P點與C點重合時，△BPD是等邊三角形，
∴∠BDP=60°，
∴∠EDP=60°，
∴∠EDA=60°，
當(dāng)P點與A點重合時，∠EDA=180°，
∴P點從C點運動到A點E點運動的圓心角為60°+180°=240°，
$\frac{240×π×5}{180}$=$\frac{20π}{3}$，
∴E點所經(jīng)過的路徑長為$\frac{20π}{3}$．

點評 本題考查的是菱形的判定、弧長的計算、翻折變換的性質(zhì)，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．