Question

2．在Rt△ABC中，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，P為AC邊一動(dòng)點(diǎn)，△BDP沿著PD所在的直線對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．
（1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AD=PE時(shí)，求證：四邊形BDEP為菱形；
（3）若BC=5，∠A=30°，P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，求E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明△ADP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形證明即可；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義求出P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 （1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=13，
∵PD⊥AB，∠C=90°，
∴△ADP∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{6.5}{12}$=$\frac{AP}{13}$，
解得，AP=$\frac{169}{24}$；
（2）證明：由翻折變換的性質(zhì)可知，PB=PE，DB=DE，
∵AD=PE，BD=AD，
∴BP=PE=ED=DB，
∴四邊形BDEP為菱形；
（3）∵BC=5，∠A=30°，
∴AB=2BC=10，
∴DE=BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，△BPD是等邊三角形，
∴∠BDP=60°，
∴∠EDP=60°，
∴∠EDA=60°，
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，∠EDA=180°，
∴P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°+180°=240°，
$\frac{240×π×5}{180}$=$\frac{20π}{3}$，
∴E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為$\frac{20π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是菱形的判定、弧長(zhǎng)的計(jì)算、翻折變換的性質(zhì)，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．