19.如圖,△ABC為等腰直角三角形,AC⊥BC,PA⊥PB,連接PC.
(1)若AB=2,求AC的長;
(2)求證:PA-PB=22PC;
(3)若PA平分∠CAB交BC于F點,則PFAFPFAF=212212

分析 (1)在RT△ABC中,利用勾股定理即可解決.
(2)如圖1中,作CE⊥CP交AP于E,利用四點共圓得∠CPA=∠CBA=45°,由△ACE≌△BCP得AE=PB,由此即可解決.
(3)如圖3,延長BP、AC交于E,作FM⊥AB,PN⊥BC垂足分別為M、N,由PN∥AC得PFAF=PNACPFAF=PNAC設(shè)FC=FM=BM=a,則FB=22a,AC=BC=(22+1)a,求出PN即可解決問題.

解答 (1)解:設(shè)CB=AC=a,在RT△ACB中,∵∠ACB=90°,AB=2,
∴a2+a2=22,
∴a2=2,
∵a>0,
∴a=22
∴AC=22
(2)證明:如圖1中,作CE⊥CP交AP于E,
∵∠ACB=∠APB=90°,
∴A、B、P、C四點共圓,
∴∠CPA=∠CBA=45°,
∵∠ACB=∠ECP=90°,
∴∠ACE=∠BCP,∠CEP=∠CPE=45°,
∴∠AEC=∠CPB=135°,
在△ACE和△BCP中,
{ACE=BCPAEC=CPBAC=BC,
∴△ACE≌△BCP,
∴AE=PB,
∴PA-PB=PA-AE=PE=2PC.
(3)解:如圖3,延長BP、AC交于E,作FM⊥AB,PN⊥BC垂足分別為M、N.
∵CA=CB,∠ACB=∠FMB=90°,
∴∠ABC=∠MFB=45°,
∴MF=MB,
∵AF平分∠CAB,
∴FC=FM=BM,設(shè)FC=FM=BM=a,則FB=2a,AC=BC=(2+1)a,
在△ACF和△BCE中,
{ACF=BCEAC=BCCAF=CBE,
∴△ACF≌△BCE,
∴CF=CE=a,
在△APE和△APB中,
{PAE=PABAP=APAPE=APB,
∴△APE≌△APB,
∴PE=PB,
∵∠PNB=∠ECB=90°,
∴PN∥AE,∵PB=PE,
∴NC=NB,
∴PN=12EC=12a.
∵PN∥AC,
PFAF=PNAC=12a2+1a=212

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、四點共圓等知識,解題的關(guān)鍵是利用四點共圓發(fā)現(xiàn)∠CPA=45°,學(xué)會常用的添加輔助線的方法,屬于中考�?碱}型.

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