Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=90°，AC=BC．過點B作BE∥AD，交CD于點E，在CD上截取DF=CE，如果∠1=∠2．
（1）求證：AF=AC；
（2）若∠ABE=30°，求證：AE平分∠BAD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS證得△BEC≌△ADF，則全等三角形的對應(yīng)邊相等，即AF=BC；結(jié)合已知條件，利用等量代換證得結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得．

解答：
證明：（1）如圖，∵BE∥AD，
∴∠3=∠4，
在△BEC與△ADF中，

∠2=∠1 ∠3=∠4 CE=FD

，
∴△BEC≌△ADF（AAS），
∴BC=AF，
∵AC=BC，
∴AF=AC；

（2）如圖：∵△BEC≌△ADF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴∠D=∠BAE=30°，AB=ED，
∵CE=DF，
∴CF=DE，
∴AB=CF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB=90°，
∵AF=AC，
∴△CAF是等腰直角三角形，
作AG⊥CD于G，
在RT△CAF中，AG⊥CD，
∴AG平分CF，
∴AG=

1

2

CF，
在RT△AGD中，∠D=30°，
∴AG=

1

2

AD，
∴AD=CF，
∵CF=DE，
∴AD=DE，
∵四邊形ABED是平行四邊形，
∴?ABED是菱形，
∴∠BAE=∠DAE，
即AE平分∠BAD．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，以及直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．