Question

已知拋物線y=x²+mx-m²（m＞0）與x軸交干A、B兩點。
（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側：
（2）若（O為坐標原點），求拋物線的解析式；
（3）設拋物線與y軸交于點C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積。

Answer 1

解：（1）證明：∵m＞0，
∴x=-＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸的左側；
（2）設拋物線與x軸交點坐標為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-m＜0，x₁·x₂=-m²＜0，
∴x₁與x₂異號，
又，
∴OA＞OB，由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=｜x₁｜=-x₁，OB=x₂代入得：，
即，解得m=2，
∴拋物線的解析式是：y=x²+2x-3；
（3）當x=0時，y=-m²
∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，-m²）
∵△ABC是直角三角形，AB²=AC²+BC²，
∴（x₁-x₂）²=x₁²+（-m²）²+x₂²+（-m²）²，
∴-2x₁·x₂=m⁴，
∴-2（-m²）=m⁴，解得m=，
∴S_△ABC=·｜AB｜·｜OC｜=｜x₁-x₂｜·｜-m²｜=×2m×m²=。