【題目】在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB= .如圖,把△ABC的一邊BC放置在x軸上,有OB=14,OC= ,AC與y軸交于點E.
(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式;
(2)過點O作OG⊥AC,垂足為G,求△OEG的面積;
(3)已知點F(10,0),在△ABC的邊上取兩點P,Q,是否存在以O(shè),P,Q為頂點的三角形與△OFP全等,且這兩個三角形在OP的異側(cè)?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE= =2 ,∴點E(0,2 ).
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+2 ,有 ,解得:k=- .
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=
(2)
解:在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE= = ,
設(shè)EG=3t,OG=5t,OE= = t,∴ ,得t=2,
故EG=6,OG=10,
∴S△OEG=
(3)
解:存在.
①當點Q在AC上時,點Q即為點G,
如圖1,作∠FOQ的角平分線交CE于點P1,
由△OP1F≌△OP1Q,則有P1F⊥x軸,由于點P1在直線AC上,當x=10時,
y=﹣ = ,
∴點P1(10, ).
②當點Q在AB上時,
如圖2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分線交CE于點P2,
過點Q作QH⊥OB于點H,設(shè)OH=a,
則BH=QH=14﹣a,
在Rt△OQH中,a2+(14﹣a)2=100,
解得:a1=6,a2=8,
∴Q(﹣6,8)或Q(﹣8,6).
連接QF交OP2于點M.
當Q(﹣6,8)時,則點M(2,4).
當Q(﹣8,6)時,則點M(1,3).
設(shè)直線OP2的解析式為y=kx,則
2k=4,k=2.
∴y=2x.
解方程組 ,得 .
∴P2( );
當Q(﹣8,6)時,則點M(1,3),
同理可求P3( );
如圖4,由QP4∥OF,QP4=OF=10,
設(shè)點P4的橫坐標為x,則點Q的橫坐標為(x﹣10),
∵yQ=yP,直線AB的函數(shù)解析式為:y=x+14,
∴x﹣10+14=﹣ x+2 ,
解得:x= ,可得y= ,
∴點P4( , ),
③當Q在BC邊上時,如圖5,OQ=OF=10,點P5在E點,
∴P5(0,2 ),
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(10, )或( )或( )或(0,2 ),( , ).
【解析】(1)根據(jù)三角函數(shù)求E點坐標,運用待定系數(shù)法求解;(2)在Rt△OGE中,運用三角函數(shù)和勾股定理求EG,OG的長度,再計算面積;(3)分兩種情況討論求解:①點Q在AC上;②點Q在AB上③當Q在BC邊上時.求直線OP與直線AC的交點坐標即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直線上順次取 A,B,C 三點,分別以 AB,BC 為邊長在直線的同側(cè)作正三角形, 作得兩個正三角形的另一頂點分別為 D,E.
(1)如圖①,連結(jié) CD,AE,求證:CD=AE;
(2)如圖②,若 AB=1,BC=2,求 DE 的長;
(3)如圖③,將圖②中的正三角形 BCE 繞 B 點作適當?shù)男D(zhuǎn),連結(jié) AE,若有 DE2+BE2= AE2,試求∠DEB 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點E是AD邊的中點,點M是AB邊上一動點(不與點A重合),延長ME交射線CD于點N,連接MD,AN.
(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;
(2)填空:①當AM的值為 時,四邊形AMDN是矩形;②當AM的值為 時,四邊形AMDN是菱形。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)求出△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1;
(3)寫出點A1,B1,C1的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,延長AC至E,使CE=AC.
(1)求證:DE=DB;
(2)連接BE,試判斷△ABE的形狀,并說明理由.
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【題目】四邊形ABCD是正方形,△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,如圖所示,如果AF=4,AB=7,
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;
(2)求DE的長度;
(3)BE與DF的位置關(guān)系如何?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在ABCD中,點F在AB的延長線上,且BF=AB,連接FD,交BC于點E.
(1)說明△DCE≌△FBE的理由;
(2)若EC=3,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖A在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為﹣2.
(1)點B在點A右邊距A點4個單位長度,求點B所對應(yīng)的數(shù);
(2)在(1)的條件下,點A以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動,點 B 以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動,當點A運動到﹣6所在的點處時,求A,B兩點間距離.
(3)在(2)的條件下,現(xiàn)A點靜止不動,B點再以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動時,經(jīng)過多長時間A,B兩點相距4個單位長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,用三種大小不等的正方形①②③和…個缺角的正方形拼成一個長方形ABCD(不重疊且沒有縫隙),若GH=a,GK=a+1,BF=a﹣2
(1)試用含a的代數(shù)式表示:正方形②的邊長CM的長= ,正方形③的邊長DM的長= ;
(2)求長方形ABCD的周長(用含a的代數(shù)式表示);并求出當a=3時,長方形周長的值.
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