Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動的時(shí)間（0≤t≤6），那么
（1）設(shè)△POQ的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)△POQ的面積最大時(shí)，將△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ，試判斷點(diǎn)C是否落在直線AB上，并說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△POQ與△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、Q的速度，用時(shí)間t表示出OQ和OP的長，即可通過三角形的面積公式得出y，t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先根據(jù)（1）的函數(shù)式求出y最大時(shí)，x的值，即可得出OQ和OP的長，然后求出C點(diǎn)的坐標(biāo)和直線AB的解析式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB的解析式中即可判斷出C是否在AB上；
（3）本題要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進(jìn)行求解，可根據(jù)各自得出的對應(yīng)成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由題意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6-t．
∴y=

1

2

×OP×OQ=

1

2

×t（6-t）=-

1

2

t²+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y=-

1

2

t²+3t，
∴當(dāng)y有最大值時(shí)，t=3
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直線PQ翻折后，可得四邊形OPCQ是正方形．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+6
當(dāng)x=3時(shí)，y=

9

2

≠3，
∴點(diǎn)C不落在直線AB上；
（3）
①若△POQ∽△AOB時(shí)，

OQ

OB

=

OP

OA

，即

6-t

6

=

t

12

，12-2t=t，∴t=4．
②若△POQ∽△BOA時(shí)，

OQ

OA

=

OP

OB

，即

6-t

12

=

t

6

，6-t=2t，∴t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合題意，
∴當(dāng)t=4或t=2時(shí)，△POQ與△AOB相似．

點(diǎn)評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．要注意（3）題要根據(jù)不同的相似三角形分類進(jìn)行討論．