Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB=8，CD=6，高AD=4，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交射線AD于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP=x，AQ=y．
（1）求線段BC的長(zhǎng)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△CPQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出△APQ∽△EBC，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，由于不明確直角三角形中哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分三種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，BE=2，CE=4，
在Rt△BCE中，BC=2；

（2）∵PQ∥CB，
∴∠QPA=∠B，
∵∠QAP=∠CEB=90°，
∴△APQ∽△EBC，
∴
y=16-2x；

（3）①當(dāng)∠QCP=90°時(shí)，如圖1，
可證△QCD∽△PCE，，即
解得x=；
②當(dāng)∠CQP=90°時(shí)，如圖2，可證△CDQ∽△QAP，
∴，即
解得x₁=7.5，x₂=8（增根，舍去）；
③當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，如圖1，
∵PQ∥BC，所以∠PCB=90°，可證△PCE∽△BCE，
∴，即（2）²=2x，
x=10＞8，舍去．
綜上，當(dāng)x=或x=7.5時(shí)，△QCP是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．在解答（3）時(shí)要分類討論，不要漏解．