Question

如圖，一貨輪在B處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以30海里/時的速度沿北偏東45°方向航行，40分鐘到達C處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上．
（1）求此時貨輪距燈塔A的距離AC（結(jié)果保留根號）；
（2）當貨輪航行至點C處時，一快艇從B處出發(fā)沿貨輪的航線追趕貨輪，貨輪繼續(xù)按原來方向和速度航行，恰好在燈塔A的正東方向的D點處追上貨輪，則快艇的速度為每小時多少海里？

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意首先求出BC的長，進而得出BH，AH的長，即可得出答案；
（2）首先求出BE的長，進而得出BD的長，即可得出快艇的速度．

解答：解：（1）如圖所示：過點B作BH⊥AC于點H，由題意可得：
BC=30×

40

60

=20（海里），∠ABM=30°，∠DBM=45°，∠ACN=75°，
則∠ABC=∠ACM+∠CBM=75°，
∵BM∥CN，
∴∠BCN=180°-∠CBM=135°，
∴∠ACB=∠BCN-∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=45°，
在Rt△BCH和Rt△ABH中，
∠CBH=30°，∠ABH=45°，
則CH=

1

2

BC=10，BH=

BC2-CH2

=10

3

，AH=BH=10

3

，
故AC=AH+CH=10+10

3

，
此時貨輪距燈塔A的距離AC為：（10+10

3

）海里；

（2）在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=10

6

，
設(shè)BM與AD交于點E，由題意可得：BM⊥AD，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
故AE=

1

2

AB=5

6

，BE=

AB2-AE2

=15

2

，
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=45°，
故BD=

BE

cos∠DBE

=

15 2

cos45°

=30（海里），
故CD=BD-BC=10（海里），
30÷（10÷30）=90（海里/小時），
即快艇的速度為每小時90海里．

點評：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．