Question

【題目】在銳角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是BD和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+MC的最小值是（ ）．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

因?yàn)?/span>BD平分∠ABC，所以可以得出點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線AB上，先找到C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C’，過C’作C’N⊥BC交BC于N交BD于M，此時(shí)的M、N即為MN+MC的最小值時(shí)的位置；因?yàn)辄c(diǎn)C和C’關(guān)于直線BD的對(duì)稱，所以C’M=CM，所以MN+MC=C’N，根據(jù)BC=2cm，可得BC’=2cm，在Rt△BC’M中，∠ABC=60°，根據(jù)勾股定理即可求出答案.

解：如圖，∵BD平分∠ABC，

∴直線AB與直線BC關(guān)于直線BD對(duì)稱，

在AB上截取BC’=BC=2，可得C與C’關(guān)于直線BC對(duì)稱；

過C’作C’N⊥BC交BC于N交BD于M，

∵C與C’關(guān)于直線BC對(duì)稱，

∴C’M=CM，MN+MC=MN+C’M，

∵求MN+MC最小值，即求MN+C’M最小，

∴當(dāng)C’、M、N三點(diǎn)共線且C’N⊥BC時(shí)MN+C’M，即MN+MC最小；

在Rt△BC’M中，∠ABC=60°，

∴∠BC’N=30°，

∴BN=BC’=1，

根據(jù)勾股定理可得;

∴MN+MC的最小值是；

故答案選A.