Question

已知△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，∠BDC=120°，E、F分別為AB和AC上任一點(diǎn)，且∠EDF=60°，DG⊥EF，求證：△BED≌△GED．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定

專題：證明題,幾何綜合題

分析：如圖，延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據(jù)SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據(jù)SAS證△EDF≌△EDN，推出BD=GD．從而證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
在△NBD和△FCD中，

BD=DC ∠NBD=∠FCD=90°   BN=CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE=DE ∠EDF=∠EDN    DN=DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴BD=DG，
在Rt△EBD與Rt△EGD中，

BD=GD ED=ED

，
∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，但是證明過(guò)程類似．