Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達式；
（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
①當線段PQ=AB時，求tan∠CED的值；
②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．
溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．

Answer 1

【答案】分析：已知C點的坐標，即知道OC的長，可在直角三角形BOC中根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長，即可得出B點的坐標．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長，也就求出了A點的坐標，然后根據(jù)A、B、C三點的坐標即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x²-2x-3；

（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
當y=0時，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點在B點左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）
設(shè)過點B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數(shù)表達式為y=kx+m，
則，
∴
∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸，
則由拋物線的對稱性可得PM=，
∵對稱軸是直線x=1，
∴P到y(tǒng)軸的距離是，
∴點P的橫坐標為，
∴P（，）
∴F（0，），
∴FC=3-OF=3-=
∵PQ垂直平分CE于點F，
∴CE=2FC=
∵點D在直線BC上，
∴當x=1時，y=-2，則D（1，-2），
過點D作DG⊥CE于點G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=-1=．
在Rt△EGD中，tan∠CED=．
②P₁（1-，-2），P₂（1-，-）．
設(shè)OE=a，則GE=2-a，
當CE為斜邊時，則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的縱坐標為-2，
把y=-2，代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x²-2x-3得：x=1+或1-
∵點P在第三象限．
∴P₁（1-，-2），
當CD為斜邊時，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F的縱坐標為：-，
把y=-，代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x²-2x-3得：x=1-，或1+，
∵點P在第三象限．
∴P₂（1-，-）．
綜上所述：滿足條件為P₁（1-，-2），P₂（1-，-）．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．