Question

8．已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-m，0）、B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）如圖，設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-6x+5=0求出m、n得到A點和B點，然后利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，
（2）把（1）中解析式配成頂點式可得D點坐標，通過解方程-x²+4x+5=0可得C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，接著作DE∥y軸交BC于E，如圖1，則E點坐標為（2，3），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE進行計算即可；
（3）如圖2，PH交BC于Q，設P（t，0），根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+5t，然后分類討論：分別利用S_△PCQ：S_△HQC=2：3或S_△PCQ：S_△HQC=3：2列關于t的方程，然后分別解關于t的方程，從而得到P點坐標．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0得m=1，n=5，則A（-1，0），B（0，5），
把A（-1，0），B（0，5）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c+0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-x²+4x+5；
（2）y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，則D（2，9），
解方程-x²+4x+5=0得x₁=-1，x₂=5，則C（5，0），
設直線BC的解析式為y=px+q，
把C（5，0），B（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5p+q=0}\\{q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
作DE∥y軸交BC于E，如圖1，則E點坐標為（2，3），
∴S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×（9-3）×5=15；
（3）如圖2，PH交BC于Q，設P（t，0），則Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），
∴PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+4t+5-（-t+5）=-t²+5t，
若S_△PCQ：S_△HQC=2：3時，則$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{2}{3}$，
整理得2t²-13t+15=0，解得t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=5（舍去），此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，0）
若S_△PCQ：S_△HQC=3：2時，則$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{3}{2}$，
整理得3t²-17t+10=0，解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=5（舍去），此時P點坐標為（$\frac{2}{3}$，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式；會解一元二次方程；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住三角形面積公式；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．