Question

8．已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-m，0）、B（0，n）．
（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖，設(shè)（1）中拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；
（3）P是線(xiàn)段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線(xiàn)交于H點(diǎn)，若直線(xiàn)BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-6x+5=0求出m、n得到A點(diǎn)和B點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法可求出拋物線(xiàn)解析式，
（2）把（1）中解析式配成頂點(diǎn)式可得D點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)解方程-x²+4x+5=0可得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，接著作DE∥y軸交BC于E，如圖1，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）如圖2，PH交BC于Q，設(shè)P（t，0），根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+5t，然后分類(lèi)討論：分別利用S_△PCQ：S_△HQC=2：3或S_△PCQ：S_△HQC=3：2列關(guān)于t的方程，然后分別解關(guān)于t的方程，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0得m=1，n=5，則A（-1，0），B（0，5），
把A（-1，0），B（0，5）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c+0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y=-x²+4x+5；
（2）y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，則D（2，9），
解方程-x²+4x+5=0得x₁=-1，x₂=5，則C（5，0），
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=px+q，
把C（5，0），B（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5p+q=0}\\{q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+5，
作DE∥y軸交BC于E，如圖1，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×（9-3）×5=15；
（3）如圖2，PH交BC于Q，設(shè)P（t，0），則Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），
∴PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+4t+5-（-t+5）=-t²+5t，
若S_△PCQ：S_△HQC=2：3時(shí)，則$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{2}{3}$，
整理得2t²-13t+15=0，解得t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=5（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）
若S_△PCQ：S_△HQC=3：2時(shí)，則$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{3}{2}$，
整理得3t²-17t+10=0，解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=5（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0），
綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式；會(huì)解一元二次方程；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住三角形面積公式；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．