Question

15．已知一次函數(shù)y=x-1的圖象與拋物線y=x²+mx+n交于A、B兩點，點A在y軸上，點B的縱坐標是5．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點為P，求△ABP的面積；
（3）已知點C、D在直線AB上，且點D的橫坐標比點C的橫坐標大2，點E、F在這條拋物線上，且CE、DF與y軸平行，能否找到一點C，使CF∥ED？若能，求點C的坐標；不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B兩點在直線上，可以求出A、B點的坐標，將其代入拋物線解析式，即可求得m，n的值；
（2）由（1）得出拋物線的解析式，將其化為頂點式，即可以找到P點坐標，由兩點間的距離以及點到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，即可求出結(jié)論；
（3）畫出圖形，假設(shè)存在，結(jié)合圖形可知，C、D必須在拋物線的上下兩側(cè)，設(shè)出C點坐標（a，a-1），用a表示出D、E、F點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出CE=DF，解含a的方程，即可得出C點坐標．

解答 解：（1）令x=0，則y=0-1=-1，即點A（0，-1），
令y=5，則5=x-1，解得x=6，即點B（6，5）．
將點A、B的坐標代入拋物線y=x²+mx+n中，
有$\left\{\begin{array}{l}{-1=n}\\{5=36+6m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故個拋物線的解析式y(tǒng)=x²-5x-1．
（2）拋物線的解析式y(tǒng)=x²-5x-1=${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{29}{4}$，
∴頂點P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{29}{4}$）．
直線AB的解析式y(tǒng)=x-1，即x-y-1=0，
點P到直線AB的距離d=$\frac{|\frac{5}{2}-（-\frac{29}{4}）-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{35\sqrt{2}}{8}$，
AB=$\sqrt{（6-0）^{2}+[5-（-1）]^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
△ABP的面積=$\frac{1}{2}$•d•AE=$\frac{105}{4}$．
（3）按照題意畫出圖形，圖形如下，

假設(shè)存在這樣的C點，設(shè)點C（a，a-1），則點D（a+2，a+1），點E（a，a²-5a-1），點F（a+2，a²-a-7）．
∵CE∥DF∥y軸，DE∥CF，
∴四邊形CFDE為平行四邊形，
∴CE=DF．
CE=|a²-5a-1-（a-1）|=|a²-6a|，DF=|a²-a-7-（a+1）|=|a²-2a-8|．
結(jié)合圖形可知，若C、D兩點均在拋物線上方，或均在拋物線下方時DE和CF相交，不可能平行，
故只有兩種情況．
①當(dāng)-2＜a＜0時，CE=a²-6a，DF=2a+8-a²，
∵CE=DF，
∴a²-6a=2a+8-a²，解得a=2-2$\sqrt{2}$，或a=2+$\sqrt{2}$（舍去）．
C點的坐標為（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）．
②當(dāng)4＜a＜6時，CE=6a-a²，DF=a²-2a-8，
∵CE=DF，
∴6a-a²=a²-2a-8，解得a=2+2$\sqrt{2}$，或a=2-2$\sqrt{2}$（舍去）．
C點的坐標為（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．
綜合①②得：能找到點C，使CF∥ED，點C的坐標為（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）或（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用、點到直線的距離、兩點間的距離公式以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點A、B在直線上，找出A、B的坐標；（2）將拋物線解析式變?yōu)轫旤c式，找出頂點P的坐標，結(jié)合兩點間的距離公式，以及點到直線的距離公式；（3）畫出圖形，結(jié)合圖形得知，C、D兩點必定在拋物線的兩測，設(shè)出C點坐標，解方程即可．