Question

15．已知一次函數(shù)y=x-1的圖象與拋物線y=x²+mx+n交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是5．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積；
（3）已知點(diǎn)C、D在直線AB上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)比點(diǎn)C的橫坐標(biāo)大2，點(diǎn)E、F在這條拋物線上，且CE、DF與y軸平行，能否找到一點(diǎn)C，使CF∥ED？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)在直線上，可以求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式，即可求得m，n的值；
（2）由（1）得出拋物線的解析式，將其化為頂點(diǎn)式，即可以找到P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，即可求出結(jié)論；
（3）畫(huà)出圖形，假設(shè)存在，結(jié)合圖形可知，C、D必須在拋物線的上下兩側(cè)，設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)（a，a-1），用a表示出D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出CE=DF，解含a的方程，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，則y=0-1=-1，即點(diǎn)A（0，-1），
令y=5，則5=x-1，解得x=6，即點(diǎn)B（6，5）．
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線y=x²+mx+n中，
有$\left\{\begin{array}{l}{-1=n}\\{5=36+6m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故個(gè)拋物線的解析式y(tǒng)=x²-5x-1．
（2）拋物線的解析式y(tǒng)=x²-5x-1=${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{29}{4}$，
∴頂點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{29}{4}$）．
直線AB的解析式y(tǒng)=x-1，即x-y-1=0，
點(diǎn)P到直線AB的距離d=$\frac{|\frac{5}{2}-（-\frac{29}{4}）-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{35\sqrt{2}}{8}$，
AB=$\sqrt{（6-0）^{2}+[5-（-1）]^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
△ABP的面積=$\frac{1}{2}$•d•AE=$\frac{105}{4}$．
（3）按照題意畫(huà)出圖形，圖形如下，

假設(shè)存在這樣的C點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C（a，a-1），則點(diǎn)D（a+2，a+1），點(diǎn)E（a，a²-5a-1），點(diǎn)F（a+2，a²-a-7）．
∵CE∥DF∥y軸，DE∥CF，
∴四邊形CFDE為平行四邊形，
∴CE=DF．
CE=|a²-5a-1-（a-1）|=|a²-6a|，DF=|a²-a-7-（a+1）|=|a²-2a-8|．
結(jié)合圖形可知，若C、D兩點(diǎn)均在拋物線上方，或均在拋物線下方時(shí)DE和CF相交，不可能平行，
故只有兩種情況．
①當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，CE=a²-6a，DF=2a+8-a²，
∵CE=DF，
∴a²-6a=2a+8-a²，解得a=2-2$\sqrt{2}$，或a=2+$\sqrt{2}$（舍去）．
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）．
②當(dāng)4＜a＜6時(shí)，CE=6a-a²，DF=a²-2a-8，
∵CE=DF，
∴6a-a²=a²-2a-8，解得a=2+2$\sqrt{2}$，或a=2-2$\sqrt{2}$（舍去）．
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．
綜合①②得：能找到點(diǎn)C，使CF∥ED，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）或（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離公式以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A、B在直線上，找出A、B的坐標(biāo)；（2）將拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，找出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式；（3）畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得知，C、D兩點(diǎn)必定在拋物線的兩測(cè)，設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即可．