Question

8．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AB上一點，∠CDE=90°，且CD=DE，DE交BC于點F．若∠BCD=30°，AB=4$\sqrt{3}$，則DF的長為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由DC=DE，想到構(gòu)造全等三角形，故作DN⊥AC于N，EH⊥BC垂足為H，ND與EH交于點M，只要證明△CDN≌△DEM得DN=EM，CN=DM，設(shè)DF=a，求出相應(yīng)的線段，列出關(guān)于a的方程即可．

解答 解；如圖作DN⊥AC于N，EH⊥BC垂足為H，ND與EH交于點M．設(shè)DF=a．
∵∠DCF=30°，∠CDF=90°，
∴CD=$\sqrt{3}$a，
在RT△CDN中，∵∠DCN=30°，CD=$\sqrt{3}$a，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，ND=$\frac{3}{2}$a，
∵∠CDN+∠EDM=90°，∠NCD+∠CDN=90°，
∴∠NCD=∠EDM，
在△CDN和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCD=∠EDM}\\{∠CND=∠EMD=90°}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△DEM，
∴DM=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EM=ND=$\frac{3}{2}$a，
∵∠N=∠NCH=∠M=90°，
∴四邊形CNMH是矩形，
∴MH=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=MN$\frac{3}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=4$\sqrt{3}$
∴∠B=45°，BC=2$\sqrt{6}$，
∴∠HEB=∠B=45°，
∴EH=HB=EM-HM=$\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴$\frac{3}{2}a$+$\frac{\sqrt{3}}{2}a$+$\frac{3}{2}a$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=2$\sqrt{6}$，
∴a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考填空題的壓軸題．