【題目】如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA(不包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，且滿足，．

(1)求證：；

(2)試判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．

(3)請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?/span>EFGH的周長(zhǎng)一半與矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形EFGH是平行四邊形，理由見解析；(3)四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半大于或者等于矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)度，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）由 軸對(duì)稱--最短路徑問題得到：四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半大于或等于矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)度．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴．

∴在與中，，

∴；

(2)∵由(1)知，，則，同理證得，則，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

(3) 四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半大于或等于矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)度．

理由如下：作G關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G′，連接EG′，可得EG′的長(zhǎng)度就是EF+FG的最小值．

連接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四邊形AEG′C為平行四邊形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半大于或等于矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)度．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)2019年莆田市初中畢業(yè)升學(xué)體育考試內(nèi)容要求，甲、乙、丙在某節(jié)體育課他們各自隨機(jī)分別到籃球場(chǎng)A處進(jìn)行籃球運(yùn)球繞桿往返訓(xùn)練或到足球場(chǎng)B處進(jìn)行足球運(yùn)球繞桿訓(xùn)練，三名學(xué)生隨機(jī)選擇其中的一場(chǎng)地進(jìn)行訓(xùn)練．

（1）用列表法或樹形圖表示出的所用可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求甲、乙、丙三名學(xué)生在同一場(chǎng)地進(jìn)行訓(xùn)練的概率；

（3）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人在B處場(chǎng)地進(jìn)行訓(xùn)練的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1，2)和(1，0)，且與y軸相交于負(fù)半軸，給出五個(gè)結(jié)論：①a+b+c=0，②abc＜0，③2a+b＞0，④a+c=1，⑤當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y＜0；其中正確的結(jié)論的序號(hào)(　　)

A.①③⑤B.②③④C.①③④D.②③⑤

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，4）．

（1）求b的值；

（2）過點(diǎn)A作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，在直線AB上任取一點(diǎn)P，作點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)C；

①當(dāng)點(diǎn)C恰巧落在軸時(shí)，求直線OP的表達(dá)式；

②連結(jié)BC，求BC的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】實(shí)踐與操作：我們?cè)趯W(xué)習(xí)四邊形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，認(rèn)識(shí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四邊形，下面我們用尺規(guī)作圖的方法來(lái)體會(huì)它們之間的聯(lián)系．如圖，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，請(qǐng)完成下列任務(wù)：

（1）在圖1中作一個(gè)菱形，使得點(diǎn)A、B為所作菱形的2個(gè)頂點(diǎn)，另外2個(gè)頂點(diǎn)在□ABCD的邊上；在圖2中作一個(gè)菱形，使點(diǎn)B、D為所作菱形的2個(gè)頂點(diǎn)，另外2個(gè)頂點(diǎn)在□ABCD的邊上；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）請(qǐng)?jiān)趫D形下方橫線處直接寫出你按（1）中要求作出的菱形的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點(diǎn)D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長(zhǎng)為（　�。�

A.B.πC.πD.π

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知：如圖，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分別為垂足．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）求證：四邊形AECF是矩形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DE＝nEA，連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F．

（1）嘗試探究：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA時(shí)，BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）類比延伸：如圖2，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝EA時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）拓展遷移：如圖3，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝nEA時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】△ABC和△CDE都是等腰三角形，∠BAC＝∠EDC＝120°．

（1）如圖1，A、D、C在同一直線上時(shí)，＝_______，＝_______；

（2）在圖1的基礎(chǔ)上，固定△ABC，將△CDE繞C旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°＜α＜360°)，如圖2，連接AD、BE．

① 的值有沒有改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．

②拓展研究：若AB＝1，DE＝，當(dāng) B、D、E在同一直線上時(shí)，請(qǐng)計(jì)算線段AD的長(zhǎng)；

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