Question

已知拋物線l₁：y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B兩點，與y軸負半軸交于點C，且A（-1，0），OB=OC 
（1）求拋物線l₁的解析式；
（2）將（1）中拋物線繞點P（3，-

3

2

）旋轉180゜得到拋物線l₂，已知拋物線l₂交x軸于G、H兩點（G在H的左側），Q是y軸正半軸上一點，若∠QHG=∠QCA，求點Q的坐標；
（3）經(jīng)過（2）中Q點的直線與（1）中拋物線l₁交于M、N兩點（M在N的左側），交拋物線l₁的對稱軸于點F，是否存在這樣的直線MN，使得MF=2FN？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OB=OC，拋物線l₁：y=ax²-2ax+b可知B（-b，0），應用待定系數(shù)法即可求得．
（2）根據(jù)（1）求得的l₁解析式y(tǒng)=x²-2x-3化成y=（x-1）²-4，根據(jù)題意得到l₂的解析式，再根據(jù)三角形相似即可求得Q點的坐標．
（3）先根據(jù)解析式求得直線MN和拋物線l₁d的交點坐標，根據(jù)MF=2FN列出關于k的方程，解這個方程即可．

解答：解：（1）由拋物線l₁：y=ax²-2ax+b可知：C（0，b）
∵OB=OC，
∴B（-b，0），
∵拋物線l₁：y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B兩點，與y軸負半軸交于點C，
∴

a+2a+b=0 ab2+2ab+b=0

解得：

a=1 b=-3

 或

a=- 1 3 b=1

（舍去）
∴拋物線l₁的解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵拋物線y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
將拋物線y=x²-2x-3繞點P（3，-

3

2

）旋轉180゜得到拋物線l₂，
則拋物線l₂為：y=-（x-5）²+1，
令y=0，∴0=-（x-5）²+1，
解得：x=4或x=6，
∴H（6，0），
∵∠QHG=∠QCA，
∴△ACO∽△HQO，
∴GO：OH=OA：OC=1：3，
∴GO=2，
∴G（0，2）；

（3）存在；
理由：如圖，∵拋物線y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴對稱軸x=1，
∵Q（0，2），直線MN過Q點，
∴設直線MN的解析式為y=kx+2，
解

y=kx+2 y=x2-2x-3

，得：x₁=

k+2+ (k+2)2+20

2

，x₂=

k+2- (k+2)2+20

2

；
根據(jù)題意，則（

k+2+ (k+2)2+20

2

-1）：（1-

k+2- (k+2)2+20

2

）=FN：FM=1：2，
整理，得：8k²-4k-24=0，
解得：k=-

3

2

，k=2（舍去），
∴直線MN的解析式y(tǒng)=-

3

2

x+2．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線圖形關于點的中心對稱的拋物線的求法，三角形相似的判定及性質等．