Question

已知：如圖，P是⊙O外一點，過點P引圓的切線PC（C為切點）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．

（1）求證：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的結論，已知PA=3，PB=5，求PC的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，OA，先根據(jù)等腰三角形的性質得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切線，C為切點得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，應用三角形內角和定理和圓周角定理可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根據(jù)∠PCA+∠ACO=90°即可得出結論．

（2）根據(jù)相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的對應邊成比例即求得出結論．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖，連接OC，OA，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO．

∵PC是⊙O的切線，C為切點，∴PC⊥OC．

∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，

在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，

∵∠AOC=2∠PBC，

∴2∠ACO+2∠PBC=180°．∴∠ACO+∠PBC=90°．

∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC．

（2）∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB．∴．

∵PA=3，PB=5，∴，解得．

考點：1．等腰三角形的性質；2．切線的性質；3．三角形內角和定理；4．圓周角定理；5．相似三角形的判定與性質．