Question

16．如圖，在△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作等腰直角三角形ABE，等腰直角三角形ACD，其中∠BAE=∠CAD=90°，BD與CE相交于點O，則：∠DOE的大小是否會隨著∠BAC大小的變化而變化？如不變，請求出∠DOE的大小？如變化，說明理由．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形得出AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC=45°，求出∠CAE=∠BAD，根據SAS推出△BAD≌△EAC，根據全等得出∠BDA=∠ACE，求出∠DOE=∠ACD+∠ADC，即可求出答案．

解答 解：∠DOE的大小不變，
∵△ABE和△ACD是等腰直角三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴∠BDA=∠ACE，
∴∠DOE=∠ACE+∠ACD+∠BDC=∠BAD+∠ACD+∠BDC=∠ACD+∠ADC=45°+45°=90°．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，能求出△BAD≌△EAC是解此題的關鍵．